Bilangan Irasional

Untuk mengingat kembali, suatu bilangan asli disebut bilangan genap jika bilangan tersebut dapat dibentuk ke dalam 2n, untuk suatu n bilangan asli. Sedangkan bilangan ganjil adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk 2n – 1, untuk suatu n bilangan asli. Setiap bilangan asli merupakan bilangan genap atau ganjil, tetapi tidak keduanya. Dengan kata lain, tidak ada bilangan asli yang merupakan bilangan genap dan ganjil sekaligus.

Teorema Tidak ada bilangan rasional r sedemikian sehingga r² = 2.

Bukti Andaikan p dan q adalah bilangan bulat sedemikian sehingga (p/q)² = 2. Kita juga perlu mengasumsikan bahwa p dan q merupakan bilangan positif yang saling prima. Karena p² = 2q², kita dapat melihat bahwa p adalah bilangan genap. Hal ini akan menyebabkan bahwa p juga merupakan bilangan genap (karena jika p = 2n – 1 ganjil, maka p² = 2(2n² – 2n + 1) – 1 juga merupakan bilangan ganjil). Karena p dan q saling prima maka kedua bilangan tersebut tidak memiliki 2 sebagai faktor persekutuannya. Sehingga, q adalah bilangan ganjil.

Karena p adalah bilangan genap, maka p = 2m untuk suatu bilangan asli m. Sehingga, 4m² = 2q² yang menyebabkan 2m² = q². Sehingga q² merupakan bilangan genap, yang sesuai dengan argumen pada paragraf sebelumnya, q juga merupakan bilangan genap.

Karena hipotesis bahwa (p/q)² = 2 menyebabkan kesimpulan yang kontradiksi, yaitu q merupakan bilangan ganjil dan genap sekaligus, maka hipotesis tersebut salah. Jadi, tidak ada bilangan rasional r sedemikan sehingga r² = 2

Tweet