Rumus Garis Berat pada Segitiga Matematika


Pada tulisan saya ini saya menggunakan segitiga sembarang agar terlihat berlaku secara umum. Ok, sekarang perhatikan \triangleABC dibawah ini.
Photobucket
Segitiga ABC diatas memiliki tinggi AD dan Garis Berat AE. Dari gambar diatas diperoleh persamaan
AD2 = AB2 – BD2 … (i)
AD2 = AC2 – CD2 … (ii)
dari (i) dan (ii) diperoleh
AC2 – CD2 = AB2 – BD2
AC2 – CD2 = AB2 – (BC – CD)2 [perhatikan : BD = BC – CD]
AC2 – CD2 = AB2 – (BC2 – 2.BC.CD + CD2)
AC2 – CD2 = AB2 – BC2 + 2.BC.CD – CD2
2.BC.CD = AC2 + BC2 – AB2
CD = \frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2.BC}  … (iii)
atau
AC2 – CD2 = AB2 – BD2
AC2 – (BC – BD)2 = AB2 – BD2 [perhatikan : CD = BC – BD]
AC2 – (BC2 – 2.BC.BD + BD2) = AB2 – BD2
AC2 – BC2 + 2.BC.BD – BD2 = AB2 – BD2
2.BC.BD = AB2 + BC2 – AC2
BD = \frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2.BC}  … (iv)
kemudian substitusi (iv) ke (i), sehingga diperoleh
AD2 = AB2 – BD2
AD = \sqrt{AB^2-(\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2.BC})^2} … (v)
setelah itu substitusi (iii) ke (ii), sehingga diperoleh
AD2 = AC2 – CD2
AD = \sqrt{AC^2-(\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2.BC})^2} … (vi)
Perhatikan \triangleABC diatas, kita dapat peroleh garis berat AE melalui hubungan garis AD dan CD, yaitu
AE = \sqrt{AD^2+DE^2}
\sqrt{AD^2+(DC-CE)^2} [perhatikan : DE = DC - CE]
\sqrt{AD^2+(DC-\frac{1}{2}BC)^2} [perhatikan : CE = BE dan CE = \frac{1}{2}BC]
\sqrt{AD^2+DC^2-DC.BC+\frac{1}{4}BC^2}
\sqrt{AC^2-DC.BC+\frac{BC^2}{4}} [karena (ii)]
\sqrt{AC^2-\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2}+\frac{BC^2}{4}} [karena (iii)]
\sqrt{\frac{4AC^2}{4}-\frac{2AC^2+2BC^2-2AB^2}{4}+\frac{BC^2}{4}}
\sqrt{\frac{1}{4}(2AC^2+2AB^2-BC^2)}
\frac{1}{2}  \sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2}
Jadi jika kita memiliki segitiga seperti dibawah ini, maka rumus Garis Berat nya adalah
Photobucket
.
\frac{1}{2}  \sqrt{2b^2+2c^2-a^2} untuk garis berat AD
\frac{1}{2}  \sqrt{2b^2+2c^2-a^2} untuk garis berat BE
\frac{1}{2}  \sqrt{2b^2+2c^2-a^2} untuk garis berat CF
.
Apa ada yang bertanya apakah rumus garis berat pada segitiga lainnya seperti segitiga siku-siku, segitiga sama kaki, segitiga sama sisi dan segitiga tumpul sama seperti kasus ini ? Jawabanya, iya sama. Terus pembuktian pada kasus segitiga tumpul bagaimana ? Silahkan dicoba, pembuktiannya sama dengan tulisan ini.

0 Response to "Rumus Garis Berat pada Segitiga Matematika"

Post a Comment